Sabe aquele site que quando você vai abrir pelo celular fica como se fosse no computador? Com as letrinhas miúdas lá distante? Então, este site não é responsivo.
Sites responsivos são projetados para todas ou principais tipos de resolução, sem distorções. Um design responsivo identifica a largura do dispositivo usado e se auto ajusta, para aproveitar melhor o espaço do dispositivo usado, ajustar as fotos, fontes e demais elementos de uma página para que não fique desproporcionais.
De forma bruta, site responsivo é aquele site que com mesmo layout se ajusta perfeitamente em qualquer dispositivo, passando a mesma experiência de leitura ao usuário, independente do dispositivo pelo qual está sendo acessado.
SEO
Quando o usuário faz uma pesquisa via dispositivo móvel o Google da preferência para os sites com design responsivo, aumentando naturalmente o tráfego orgânico.
Em outras palavras, ter um site responsivo colabora com que seu site apareça nos resultados de busca, independente do dispositivo que o usuário esteja realizando a busca.
Preparar para dispositivos futuros
Uma das maiores vantagens do design responsivo é que esse projeto é feito para diferentes resoluções e não para diferentes dispositivos. Ou seja, não imposta se o dispositivo do usuário é novo ou é antigo, o layout do seu site irá se adaptar.